Как решить уравнение |cos x + sin x| = корень из 2 * sin 2x?

Ответ от ЛА[гуру]
Рассматривать два случая раскрытия модуля не обязательно. Поскольку левая часть |cosx + sinx| всегда неотрицательна, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Это дает обязательное условие: sin2x ≥ 0. При этом условии возводим обе части уравнения в квадрат:
(cosx + sinx)² = 2sin²2x
cos²x + 2sinx*cosx + sin²x = 2sin²2xИспользуя основные тригонометрические тождества cos²x + sin²x = 1 и 2sinx*cosx = sin2x, получаем:
1 + sin2x = 2sin²2xСделаем замену t = sin2x и решим квадратное уравнение 2t² - t - 1 = 0.
Его корни: t = 1 и t = -1/2.
Это означает, что sin2x = 1 или sin2x = -1/2. Из-за ранее установленного условия sin2x ≥ 0 корень sin2x = -1/2 является посторонним и отбрасывается. Остается уравнение sin2x = 1.
Решая его, получаем 2x = π/2 + 2πk, где k — любое целое число.
Разделив на 2, находим итоговый ответ: x = π/4 + πk, k ∈ Z.