найти общее решение дифференциального уравнения

Ответ от Андрей Мельников[гуру]
Для решения y'' - 3y' + 2y = sin x найдем сумму решений однородного и неоднородного уравнений. Однородное уравнение y'' - 3y' + 2y = 0 имеет характеристическое уравнение λ² - 3λ + 2 = 0 с корнями λ1 = 1, λ2 = 2. Его решение: y_одн = C1 * e^x + C2 * e^(2x). Частное решение для sin x ищем в виде y_част = A * cos x + B * sin x.
Производные: y_част' = -A * sin x + B * cos x, y_част'' = -A * cos x - B * sin x.
Подставляем в уравнение и приравниваем коэффициенты при cos x и sin x:
A - 3B = 0
3A + B = 1
Отсюда A = 3/10, B = 1/10.
Частное решение: y_част = 0.3 * cos x + 0.1 * sin x. Итоговое общее решение:
y = C1 * e^x + C2 * e^(2x) + 0.3 * cos x + 0.1 * sin x, где C1 и C2 — произвольные постоянные.