Как простыми словами объяснить, что такое базис?

Ответ от Ильхом ------[мастер]
Основа))

Ответ от Георгий Глурджидзе[гуру]
Базис это то, на что опирается ваша мысль.
* В математике:
o Базис — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде их линейной комбинации.
o Базис или база топологии.
o Базис n-го порядка — понятие аддитивной теории чисел, см. плотность последовательности.
o Базис Грёбнера
* В экономике:
o Базис и надстройка — в марксизме, элементы политэкономической системы.

Ответ от Булат 1[гуру]
В n-мерном пространстве всегда можно выбрать ровно n векторов таких, что любой вектор представляется в виде их линейной комбинации (причём базис можно выбрать множеством способов). Причём векторов в базисе не может быть меньше n, иначе уже не всё пространство можно представить как их линейную комбинацию. Каждый вектор разлагается в базисе только одним способом.
НАПРИМЕР: на плоскости можно выбрать любые два вектора i, j (лишь бы не параллельных) , тогда любой вектор можно представить в виде
a*i + b*j
Тогда числа a, b называются коэффициентами разложения вектора в базисе (i, j), или просто координатами в этом базисе.
ОДИН вектор не подходит в качестве базиса, т. к. с помощью него невозможно разложить любой вектор (а только параллельные данному).
В трёхмерном пространстве - три вектора и т. д.
По-моему в Вики примерно так и написано. Если и так непонятно, то нужно
1) Понять, что же такое векторное пространство;
2) Понять, что такое сложение векторов, умножение вектора на скаляр;
3) Понять, что такое линейная комбинация и линейная независимость;
4) Прочитать ещё раз и вникнуть в каждое слово.
Ортогональный базис - когда вектора в базисе выбираются перпендикулярные. Вектора в таком базисе называются ортами.
Нормированный базис - когда вектора в базисе выбираются одинаковой длины (длина вектора по-другому называется нормой). Тогда говорят, что базис нормирован на C, где C - число - длина векторов. Обычно нормируют на единицу.
Чаще всего оперируют ортогональным нормированным (на единицу) базисом, так удобнее.
Ортогональный нормированный на единицу базис сокращённо называют ортонормированным.
В каком-то смысле понятие "базис" похоже на декартовы координаты. Декартовы координаты - пример ортонормированного базиса (в качестве базисных векторов - единичные отрезки вдоль каждой оси).

Ответ от Alexey Glazov[гуру]
Можно подсчитать сумму векторов, при сложении умножая их на определенные коэффициенты, и получить еще один вектор.
Можно поступить наоборот - для данного вектора подобрать набор других векторов с коэффициентами, такой, что их сложение даст исходный вектор. Это сумма есть линейная комбинация.
Хочется найти такой минимальный набор векторов, что бы любой другой вектор выражался в виде линейной комбинации через этот набор.
Такой набор называется базисом.
Даже в одном пространстве базисов может быть много.
Если в этом наборе все вектора попарно перпендикулярны, то это ортогональный базис
Если в этом наборе длина каждого вектора равна 1, то это нормированный базис
ортогональный нормированный базис называется ортонормированным
например на координатоной плоскости вектор по оси икс и вектор по оси игрек образуют базис

Ответ от ВикиВопрос[гуру]