При каких натуральных n выражение (3n^2-26n+35)(4n-28) является целым числом?

Ответ от Александр Фофонов[гуру]
Скорее всего, в условии задачи опечатка и имеется в виду дробь (3n^2 - 26n + 35) / (4n - 28), поскольку при обычном умножении выражение всегда было бы целым для любых натуральных n. Разложим числитель на множители. Корни квадратного трехчлена 3n^2 - 26n + 35 равны 7 и 5/3, значит, его можно записать как (n - 7)(3n - 5). Знаменатель раскладывается как 4(n - 7). При n = 7 знаменатель обращается в ноль, поэтому это значение недопустимо. Для всех остальных n сокращаем дробь на (n - 7) и получаем (3n - 5) / 4. Чтобы результат был целым числом, выражение 3n - 5 должно делиться на 4 нацело. Это условие выполняется, когда n при делении на 4 дает в остатке 3. Такие натуральные числа: 3, 7, 11, 15, 19, 23 и так далее. Исключая недопустимое значение n = 7, получаем ответ: 3, 11, 15, 19, 23 и все остальные натуральные числа вида 4k + 3, кроме семерки.