Как решить задачу про таблицу 5×5, где суммы в строках и столбцах одинаковы?

Ответ от Анна Глинкина[гуру]
Эта задача из математического конкурса Кенгуру 2015 года для 5-6 классов (вопрос 30). Полное условие звучит так: в клетки таблицы 5x5 вписаны числа так, что все десять сумм в строках и столбцах одинаковы, и известно, что не все эти числа равны между собой. Нужно найти наибольшее количество одинаковых чисел в такой таблице. Правильный ответ: 21. Это возможно, если 21 клетка заполнена одним и тем же числом, а 4 клетки (например, расположенные по углам таблицы) содержат другие числа. Их можно подобрать так, чтобы сумма в каждой строке и столбце оставалась неизменной. Если основное число равно а, то в углах можно разместить числа а минус х, а плюс х, а плюс х и а минус х. Тогда сумма в любой строке и столбце будет в точности равна 5а. Разместить 22 или более одинаковых чисел невозможно, так как оставшиеся одно или два числа не смогут уравновесить суммы во всех рядах и колонках без нарушения условия задачи.